Siempre hay un poquito más de Pitágoras

Actividades de introducción.
1. ¿Qué figuras se pueden formar con las piezas del rompecabezas?
2. Arma un cuadrado, utilizando todas las piezas del rompecabezas.
















3.Teniendo en cuenta que los lados del triángulo son:



a.- Calcula la superficie de cada figura que compone el rompecabezas.


b.- Calcula la superficie del cuadrado construido en el punto 2.











¿Una ayudita? Hallen la superficie del cuadrado exterior a través de la suma de las superficies de los triángulos que lo conforman.





NO HAGAS TRAMPA!!!! ANTES DE SEGUIR BAJANDO RESOLVÉ LAS ACTIVIDADES.

Posibles resoluciones:

Posibilidad I
1. Sup. Cuadrado exterior = C2

2. Sup. Cuadrado exterior = (Sup. Triángulo).4 + sup. Cuadrado interior
= 4.a.b/2 + (b-a)2
= 2a.b + b2 –2a.b + a2
= b2 + a2


Posibilidad II
1. Sup. cuadrado exterior = (a+b)2
2. Sup. Cuadrado exterior = 4. (sup. Triángulo) + sup. Cuadrado interior
= 4.ab/2 + c2
= 2 ab +c2
Trabajando cada caso en particular se deduce que hay una igualdad planteada en el cálculo de superficies, es decir que ambos ítems hacen referencia a la misma superficie. Planteando las siguientes igualdades:

Caso I C2 = a2 + b2

Caso II (a+b)2 = 2ab + c2

Esta se trabajará en forma algebraica.
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
a2 + 2ab + b2 – 2ab = c2
a2 + b2 = c2

Tomando la construcción del cuadrado del caso I: Se construye un cuadrado de lado “c”.

Calculando la superficie de este cuadrado queda que es igual a C2. Si tenemos en cuenta que “c” es la hipotenusa del triángulo rectángulo abc, podemos decir que la superficie del cuadrado es la hipotenusa elevada al cuadrado.

Calculando la superficie a través de la suma de las superficies que lo componen, obtenemos que ésta es igual a b2 + a2 , es decir la suma de cada uno de los catetos (del triángulo rectángulo abc) elevados al cuadrado. Como ambos cálculos se refieren a la misma superficie se igualan, obteniendo que:

La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma del cuadrado de los catetos

Tomando la construcción del cuadrado del caso II: Se construye un cuadrado de lado a + b, resultando su superficie igual a (a+b)2, es decir, la suma de los catetos elevada al cuadrado.

Calculando la superficie a través de la suma de las superficies que componen el cuadrado, obtenemos que ésta es igual a 2 ab +c2, es decir, el doble producto de los catetos más la hipotenusa al cuadrado. Nuevamente, como ambas expresiones corresponden a una misma superficie las igualamos, y al operar algebraicamente, resulta que:

La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma del cuadrado de los catetos

Mediante el trabajo realizado hemos demostrado el Teorema de Pitágoras, el cual enuncia:

C2 = a2 + b2

L.O.I. kuicklis